行列式

1.行列式按行（列）展开定理

(1) 设$A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$，则：$a_{i 1} A_{j 1}+a_{i 2} A_{j 2}+\cdots+a_{i n} A_{j n}=\left\{\begin{array}{l}{|A|, i=j} \\ {0, i \neq j}\end{array}\right.$ 或$a_{1 i} A_{1 j}+a_{2 i} A_{2 j}+\cdots+a_{n i} A_{n j}=\left\{\begin{array}{l}{|A|, i=j} \\ {0, i \neq j}\end{array}\right.$

即$A A^{*}=A^{*} A=|A| E$ 其中;

$A^{*}=\left( \begin{array}{cccc}{A_{11}} & {A_{12}} & {\ldots} & {A_{1 n}} \\ {A_{21}} & {A_{22}} & {\dots} & {A_{2 n}} \\ {\ldots} & {\ldots} & {\cdots} & {\cdots} \\ {A_{n 1}} & {A_{n 2}} & {\ldots} & {A_{n n}}\end{array}\right)=\left(A_{j i}\right)=\left(A_{i j}\right)^{T}$

$D_{n}=\left| \begin{array}{cccc}{1} & {1} & {\ldots} & {1} \\ {x_{1}} & {x_{2}} & {\ldots} & {x_{n}} \\ {\ldots} & {\ldots} & {\ldots} & {\ldots} \\ {x_{1}^{n-1}} & {x_{2}^{n-1}} & {\ldots} & {x_{n}^{n-1}}\end{array}\right|=\prod_{1 \leq j<i \leq n}\left(x_{i}-x_{j}\right)$

(2) 设A,B为n阶方阵，则$| | A B|=| A| | B|=| B| | A|=| B A |$，但$|A \pm B|=|A| \pm|B|$不一定成立。

(3)$|k A|=k^{n}|A|_{,} A$为n阶方阵。

(4) 设A为n阶方阵，$\left|A^{T}\right|=|A| ;\left|A^{-1}\right|=|A|^{-1}$（若A可逆），$\left|A^{*}\right|=|A|^{n-1}$ $n \geq 2$

(5)$\left| \begin{array}{cc}{A} & {O} \\ {O} & {B}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{cc}{A} & {C} \\ {O} & {B}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{cc}{A} & {O} \\ {C} & {B}\end{array}\right|=|A||B|, A, B$为方阵，但$\left| \begin{array}{cc}{O} & {A_{m \times m}} \\ {B_{n \times n}} & {O}\end{array}\right|=(-1)^{m n}|A||B|$。

(6) 范德蒙行列式$D_{n}=\left| \begin{array}{cccc}{1} & {1} & {\dots} & {1} \\ {x_{1}} & {x_{2}} & {\dots} & {x_{n}} \\ {\ldots} & {\ldots} & {\ldots} & {\ldots} \\ {x_{1}^{n-1}} & {x_{2}^{n 1}} & {\ldots} & {x_{n}^{n-1}}\end{array}\right|=\prod_{1 \leq j<i \leq n}\left(x_{i}-x_{j}\right)$

设A是n阶方阵，$\lambda_{i}(i=1,2 \cdots, n)$是A的n个特征值，则$|A|=\prod_{i=1}^{n} \lambda_{i}$

矩阵

矩阵：mxn个数$a_{ij}$排成m行n列的表格$\left[ \begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {\cdots} & {a_{1 n}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {\cdots} & {a_{2 n}} \\ {\cdots} & {\cdots} & {\cdots} & {\cdots} \\ {a_{m 1}} & {a_{m 2}} & {\cdots} & {a_{m n}}\end{array}\right]$称为矩阵，简记为A，或者$\left(a_{i j}\right)_{m \times n}$。若m=n，则称A是n阶矩阵或n阶方阵。

矩阵的线性运算

1.矩阵的加法

设$A=\left(a_{i j}\right), B=\left(b_{i j}\right)$是两个mxn矩阵，则mxn矩阵$C=c_{i j} =a_{i j}+b_{i j}$称为矩阵A与B的和，记为A+B=C。

2.矩阵的数乘

设$A=\left(a_{i j}\right)$是mxn矩阵，k是一个常数，则mxn矩阵$ka_{ij}$称为数k与矩阵A的数乘，记为kA。

3.矩阵的乘法

设$A=\left(a_{i j}\right)$是mxn矩阵，$B=\left(b_{i j}\right)$是nxs矩阵，那么mxs矩阵$C=\left(c_{i j}\right)$，其中$c_{i j}=a_{i 1} b_{1 j}+a_{i 2} b_{2 j}+\cdots+a_{i n} b_{n j}=\sum_{k=1}^{n} a_{i k} b_{k j}$称为AB的乘积，记为C=AB。

4.$A^T$、$A^{-1}$、$A^*$三者之间的关系

1. $\left(A^{T}\right)^{T}=A,(A B)^{T}=B^{T} A^{T},(k A)^{T}=k A^{T},(A \pm B)^{T}=A^{T} \pm B^{T}$

2. $\left(A^{-1}\right)^{-1}=A,(A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1},(k A)^{-1}=\frac{1}{k} A^{-1}$ 但 $(A \pm B)^{-1}=A^{-1} \pm B^{-1}$不一定成立。

3. $\left(A^{*}\right)^{*}=|A|^{n-2} A(n \geq 3),(A B)^{*}=B^{*} A^{*},(k A)^{*}=k^{n-1} A^{*}(n \geq 2)$ 但 $(A \pm B)^{*}=A^{*} \pm B^{*}$不一定成立。

4. $\left(A^{-1}\right)^{T}=\left(A^{T}\right)^{-1},\left(A^{-1}\right)^{*}=\left(A A^{*}\right)^{-1},\left(A^{*}\right)^{T}=\left(A^{T}\right)^{*}$

5.有关$A^*$的结论

1. $A A^{*}=A^{*} A=|A| E$

2. $\left|A^{*}\right|=|A|^{n-1}(n \geq 2), \quad(k A)^{*}=k^{n-1} A^{*}, \quad\left(A^{*}\right)^{*}=|A|^{n-2} A(n \geq 3)$

3. 若A可逆，则$A^{*}=|A| A^{-1},\left(A^{*}\right)^{*}=\frac{1}{|A|} A$

4. 若A为n阶方阵，则：$r\left(A^{*}\right)=\left\{\begin{array}{ll}{n,} & {r(A)=n} \\ {1,} & {r(A)=n-1} \\ {0,} & {r(A)<n-1}\end{array}\right.$

6.有关$A^{-1}$的结论

A可逆\Leftrightarrow A B=E ; \Leftrightarrow|A| \neq 0 ; \Leftrightarrow r(A)=n$$$$\Leftrightarrow A可以表示为初等矩阵的乘积；$\Leftrightarrow A ; \Leftrightarrow A x=0$。

7.有关矩阵秩的结论

1. 秩$r(A)$=行秩=列秩；

2. $r\left(A_{m \times n}\right) \leq \min (m, n)$

3. $r\left(A_{m \times n}\right) \leq \min (m, n)$

4. $r(A \pm B) \leq r(A)+r(B)$

5. 初等变换不改变矩阵的秩

6. $r(A)+r(B)-n \leq r(A B) \leq \min (r(A), r(B))$特别若$A B=O$则：$r(A)+r(B) \leq n$

7. 若$A^{-1}$存在$\Rightarrow r(A B)=r(B)$;若$B^{-1}$存在$\Rightarrow r(A B)=r(A)$. 若$r\left(A_{m \times n}\right)=n \Rightarrow r(A B)=r(B)$ 若$r\left(A_{m \times s}\right)=n \Rightarrow r(A B)=r(A)$。

8. $r\left(A_{m \times s}\right)=n \Leftrightarrow A x=0$只有零解

8.分块求逆公式

$\begin{array}{ll}{\left( \begin{array}{cc}{A} & {O} \\ {O} & {B}\end{array}\right)^{-1}=\left( \begin{array}{cc}{A^{-1}} & {O} \\ {O} & {B^{-1}}\end{array}\right) ; \left( \begin{array}{cc}{A} & {C} \\ {O} & {B}\end{array}\right)^{-1}=\left( \begin{array}{cc}{A} & {B^{-1} C B^{-1}} \\ {O} & {B^{-1}}\end{array}\right)} \\ {\left( \begin{array}{cc}{A} & {O} \\ {C} & {B}\end{array}\right)^{-1}=\left( \begin{array}{cc}{A^{-1}} & {O} \\ {-B^{-1} C A^{-1}} & {B^{-1}}\end{array}\right) ; \left( \begin{array}{cc}{O} & {A} \\ {B} & {O}\end{array}\right)^{-1}=\left( \begin{array}{cc}{O} & {B^{-1}} \\ {A^{-1}} & {O}\end{array}\right)}\end{array}$

这里A，B均为可逆方阵。

向量

1.有关向量组的线性表示

1. $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$线性相关$\Leftrightarrow$至少有一个向量可以用其余向量线性表示。

2. $\alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$线性无关，$\alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$，$\beta$线性相关\Leftrightarrow$$$$\beta可以由$\alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$唯一线性表示。

3. $\beta$可以由$\alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$线性表示$\Leftrightarrow r\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}\right)=r\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}, \beta\right)$

2.有关向量组的线性相关性

1. 部分相关，整体相关；整体无关，部分无关.

2. (1) n个n维向量$\alpha_{1}, \alpha_{2} \cdots \alpha_{n}$线性无关$\Leftrightarrow\left|\left[\alpha_{1} \alpha_{2} \cdots \alpha_{n}\right]\right| \neq 0$，n个n维向量$\alpha_{1}, \alpha_{2} \cdots \alpha_{n}$线性相关$\Leftrightarrow\left|\left[\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}\right]\right|=0$。 (2) n+1个n维向量线性相关。 (3)若$\alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$线性无关，则添加分量后仍线性无关；或一组向量线性相关，去掉某些分量后仍线性相关。

3**.向量组的秩与矩阵的秩之间的关系**

设$r\left(A_{m \times n}\right)=r$，则A的秩r(A)与A的行列向量组的线性相关性关系为：

• 若$r\left(A_{m \times n}\right)=r=m$，则A的行向量组线性无关

• 若$r\left(A_{m \times n}\right)=r<m$，则A的行向量组线性相关

• 若$r\left(A_{m \times n}\right)=r=n$，则A的行向量组线性无关

• 若$r\left(A_{m \times n}\right)=r<n$，则A的行向量组线性相关

4**.n维向量空间的基变换公式及过渡矩阵**

若$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$与$\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}$是向量空间V的两组基，则基变换公式为：

$\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}\right)=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}\right) \left[ \begin{array}{cccc}{c_{11}} & {c_{12}} & {\cdots} & {c_{1 n}} \\ {c_{21}} & {c_{22}} & {\cdots} & {c_{2 n}} \\ {\ldots} & {\cdots} & {\cdots} & {\cdots} \\ {c_{n 1}} & {c_{n 2}} & {\cdots} & {c_{n n}}\end{array}\right]=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}\right) C$

其中C是可逆矩阵，称为由基$\alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$到基$\beta_{2}, \cdots, \beta_{n}$的过渡矩阵。

5**.坐标变换公式**

若向量$\gamma$在基$\alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$与基$\beta_{2}, \cdots, \beta_{n}$的坐标分别是，$X=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)^{T}$,$Y=\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\right)^{T}$

即：$\gamma=x_{1} \alpha_{1}+x_{2} \alpha_{2}+\cdots+x_{n} \alpha_{n}=y_{1} \beta_{1}+y_{2} \beta_{2}+\cdots+y_{n} \beta_{n}$，则向量坐标变换公式为X=CY或$Y=C^{-1}X$，其中C是从基$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$到基$\beta_{2}, \cdots, \beta_{n}$的过渡矩阵。

6**.向量的内积**

$(\alpha, \beta)=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+\cdots+a_{n} b_{n}=\alpha^{T} \beta=\beta^{T} \alpha$

7**.Schmidt正交化**

若$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$线性无关，则可构造$\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{s}$使其两两正交，且$\beta_i$仅是$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{i}$的线性组合$(i=1,2, \cdots, n)$，再把$\beta_i$单位化，记$\gamma_{i}=\frac{\beta_{i}}{\left|\beta_{i}\right|}$，则$\gamma_{1}, \gamma_{2}, \cdots, \gamma_{i}$是规范正交向量组。其中

$\beta_{1}=\alpha_{1},\beta_{2}=\alpha_{2}-\frac{\left(\alpha_{2}, \beta_{1}\right)}{\left(\beta_{1}, \beta_{1}\right)} \beta_{1}, \quad \beta_{3}=\alpha_{3}-\frac{\left(\alpha_{3}, \beta_{1}\right)}{\left(\beta_{1}, \beta_{1}\right)} \beta_{1}-\frac{\left(\alpha_{3}, \beta_{2}\right)}{\left(\beta_{2}, \beta_{2}\right)} \beta_{2}$

....................................................

$\beta_{s}=\alpha_{s}-\frac{\left(\alpha_{s}, \beta_{1}\right)}{\left(\beta_{1}, \beta_{1}\right)} \beta_{1}-\frac{\left(\alpha_{s}, \beta_{2}\right)}{\left(\beta_{2}, \beta_{2}\right)} \beta_{2}-\dots-\frac{\left(\alpha_{s}, \beta_{s-1}\right)}{\left(\beta_{s-1}, \beta_{s-1}\right)} \beta_{s-1}$

8**.正交基及规范正交基**

向量空间一组基中的向量如果两两正交，就称为正交基；若正交基中每个向量都是单位向量，就称其为规范正交基。

线性方程组

1．克莱姆法则

线性方程组$\left\{\begin{array}{c}{a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1}} \\ {a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2}} \\ {\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots+a_{2 n} x_{n}=b_{2}} \\ {a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{n n} x_{n}=b_{n}}\end{array}\right.$，如果系数行列式$D=|A| \neq 0$，则方程组有唯一解，$x_{1}=\frac{D_{1}}{D}, x_{2}=\frac{D_{2}}{D}, \cdots, x_{n}=\frac{D_{n}}{D}$，其中$D_j$是把D中第j列元素换成方程组右端的常数列所得的行列式。

2.

n阶矩阵A可逆$\Leftrightarrow A x=0$只有零解$\Leftrightarrow \forall b, A x=b$总有唯一解，一般地，$r\left(A_{m \times n}\right)=n \Leftrightarrow A x=0$只有零解。

3.非奇次线性方程组有解的充分必要条件，线性方程组解的性质和解的结构

(1) 设A为mxn矩阵，若$r\left(A_{m \times n}\right)=m$，则对$Ax = b$而言必有$r(A)=r(A : b)=m$，从而$A x=b$有解。

(2) 设$x_{1}, x_{2}, \cdots \cdot x_{s}$为$A x=b$的解，则$k_{1} x_{1}+k_{2} x_{2} \cdots+k_{s} x_{s}$当$k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{s}=1$时仍为$Ax = b$的解；但当$k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{s}=0$时，则为$Ax = 0$的解。特别$\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$为$Ax = b$的解；\2 x_{3}-\left(x_{1}+x_{2}\right)$为$Ax = 0$$的解。

(3) 非齐次线性方程组$Ax=b$无解$\Leftrightarrow r(A)+1=r(A) \Leftrightarrow b$不能由的A列向量$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$线性表示。

4.奇次线性方程组的基础解系和通解，解空间，非奇次线性方程组的通解

(1) 齐次方程组$Ax = 0$恒有解(必有零解)。当有非零解时，由于解向量的任意线性组合仍是该齐次方程组的解向量，因此$Ax = 0$的全体解向量构成一个向量空间，称为该方程组的解空间，解空间的维数是$n-r(A)$，解空间的一组基称为齐次方程组的基础解系。

(2)$\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{t}$是$Ax=0$的基础解系，即：

1)$\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{t}$是$Ax = 0$的解；

2)$\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{t}$线性无关；

3)$Ax = 0$的任一解都可以由$\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{t}$线性表出$k_{1} \eta_{1}+k_{2} \eta_{2}+\cdots+k_{t} \eta_{t}$.是$Ax = 0$的通解，其中$k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{t}$是任意常数。

矩阵的特征值和特征向量

1.矩阵的特征值和特征向量的概念及性质

1. 设$\lambda$是Am的一个特征值，则$kA,aA+bE,A^2,f(A),A^T,A^{-1},A^*$有一个特征值分别为$k\lambda,a\lambda+b,\lambda^2,\lambda^m,f(\lambda),\lambda,\lambda^{-1},\frac{|A|}{\lambda}$且对应特征向量相同（$A^T$例外）。

   (2)若$\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n$为A的n个特征值，则$\sum_{i=1}^{n}\lambda_i=\sum_{i=1}^{n}a_{ii},\prod_{i=1}^{n}\lambda_i=|A|$,从而$|A| \neq 0 \Leftrightarrow A$没有特征值。

   (3)设$\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_s$为A的s个特征值，对应特征向量为$\alpha_{1}, \alpha_{2} \cdots \alpha_{s}$，

   若:,$\alpha=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\dots+k_s\alpha_s$

   则:$A^n\alpha=k_1A^n\alpha_1+k_2A^n\alpha_2+\dots+k_sA^n\alpha_s=k_1\lambda_1^n\alpha_1+k_2\lambda_2^n\alpha_2+\dots+k_s\lambda_s^n\alpha_s$。

2.相似变换、相似矩阵的概念及性质

若$A \sim B$，则

1)$A^T \sim B^T, A^{-1} \sim B^{-1},A^* \sim B^*$

2)$|A|=|B|, \sum_{i=1}^{n} A_{ii}=\sum_{i=1}^{n} B_{ii}, r(A)=r(B)$

3)$|\lambda E-A|=|\lambda E-B|$，对$\forall \lambda$成立

3.矩阵可相似对角化的充分必要条件

(1)设A为n阶方阵，则A可对角化$\Leftrightarrow$对每个$k_i$重根特征值，有$n-r\left(\lambda_{i} E-A\right)=k_{i}$

(2) 设A可对角化，则由$P^{-1} A P=\Lambda$有$A=P \Lambda P^{-1}$，从而$A^{n}=P \Lambda^{n} P^{-1}$

(3) 重要结论

1) 若$A \sim B, C \sim D$，则$\left[ \begin{array}{ll}{A} & {O} \\ {O} & {C}\end{array}\right] \sim \left[ \begin{array}{ll}{B} & {O} \\ {O} & {D}\end{array}\right]$.

2) 若$A \sim B$，则$f(A) \sim f(B)$，$|f(A)| \sim |f(B)|$其中$f(A)$为关于n阶方阵A的多项式。

3) 若A为可对角化矩阵，则其非零特征值的个数(重根重复计算)＝秩(A)

4.实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角阵

(1)相似矩阵：设A,B为两个n阶方阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得$B=P^{-1} A P$成立，则称矩阵A与B相似，记为$A \sim B$。

(2)相似矩阵的性质：如果则有$A \sim B$：

1)$A^{T} \sim B^{T}$

2)$A^{-1} \sim B^{-1}$（A若，B均可逆）

3)$A^{k} \sim B^{k}$（k为正整数）

4)$|\lambda E-A|=|\lambda E-B|$，从而A,B有相同的特征值

5)$|A|=|B|$，从而A,B同时可逆或者不可逆

6) 秩(A)=秩(B)，$|\lambda E-A|=|\lambda E-B|$, A,B不一定相似

二次型

1.n个变量$\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \cdots, \mathbf{x}_{\mathbf{n}}$的二次齐次函数

$f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i j} x_{i} y_{j}$，其中$a_{i j}=a_{j i}(i, j=1,2, \cdots, n)$，称为n元二次型，简称二次型. 若令$x=\left[ \begin{array}{c}{x_{1}} \\ {x_{1}} \\ {\vdots} \\ {x_{n}}\end{array}\right], A=\left[ \begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {\cdots} & {a_{1 n}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {\cdots} & {a_{2 n}} \\ {\cdots} & {\cdots} & {\cdots} & {\cdots} \\ {a_{n 1}} & {a_{n 2}} & {\cdots} & {a_{n n}}\end{array}\right]$,这二次型f可改写成矩阵向量形式$f=x^{T} A x$。其中A称为二次型矩阵，因为$a_{i j}=a_{j i}(i, j=1,2, \cdots, n)$，所以二次型矩阵均为对称矩阵，且二次型与对称矩阵一一对应，并把矩阵A的秩称为二次型的秩。

2.惯性定理，二次型的标准形和规范形

(1) 惯性定理

对于任一二次型，不论选取怎样的合同变换使它化为仅含平方项的标准型，其正负惯性指数与所选变换无关，这就是所谓的惯性定理。

(2) 标准形

二次型$f=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=x^{T} A x$经过合同变换$x =C y$化为$f=x^{T} A x=y^{T} C^{T} A C$

$y=\sum_{i=1}^{r} d_{i} y_{i}^{2}$称为$f(r \leq n)$的标准形。在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，与所作的合同变换有关，但系数不为零的平方项的个数由r(A)唯一确定。

(3) 规范形

任一实二次型f都可经过合同变换化为规范形$f=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+\cdots z_{p}^{2}-z_{p+1}^{2}-\cdots-z_{r}^{2}$，其中r为A的秩，p为正惯性指数，r-p为负惯性指数，且规范型唯一。

3.用正交变换和配方法化二次型为标准形，二次型及其矩阵的正定性

设A正定$\Rightarrow k A(k>0), A^{T}, A^{-1}, A^{*}$正定；$|A|>0$,可逆；$a_{ii} > 0$，且$\left|A_{i i}\right|>0$

A,B正定$\Rightarrow A+B$正定，但AB，BA不一定正定

A正定$\Leftrightarrow f(x)=x^{T} A x>0, \forall x \neq 0$

$\Leftrightarrow$A的各阶顺序主子式全大于零

$\Leftrightarrow$A的所有特征值大于零

$\Leftrightarrow$A的正惯性指数为n

$\Leftrightarrow$存在可逆阵P使$A=P^{T} P$

$\Leftrightarrow$存在正交矩阵Q，使$Q^{T} A Q=Q^{-1} A Q=\begin{pmatrix} \lambda_1& & \\ & \dots& \\ & & \lambda_n \end{pmatrix}$

其中$\lambda_{i}>0, i=1,2, \cdots, n$正定$\Rightarrow k A(k>0), A^{T}, A^{-1}, A^{*}$正定；$|A|>0,A$可逆；$a_{ii}>0$，且$|A_{ii}|>0$。